Estymator regresyjny

Istota estymatora regresyjnego

Estymator regresyjny prosty i złożony to estymatory zgodne, ale obciążone. Obciążenie estymatora prostego maleje wraz ze wzrostem liczby $n_{h}$ losowań w warstwie. Natomiast w przypadku estymatora regresyjnego złożonego, obciążenie maleje wraz ze wzrostem liczebności próby. Przy próbie dużej $(n>100)$ obciążenie estymatora jest nieistotne.

Estymatory regresyjne są estymatorami wysoce efektywnymi, ale także i pracochłonnymi. Z tego powodu estymatory te stosuje się najczęściej w przypadku badania 2 zmiennych. Gdy liczba zmiennych jest większa (3 i więcej), stosuje się częściej estymatory ilorazowe, które są prostsze w obliczeniach.

Estymator regresyjny prosty

Estymatorem regresyjnym prostym nazywamy znaną wartość średniej arytmetycznej zmiennej pomocniczej w każdej warstwie.

Wyraża się go wzorem:

${\overline {y}}_{l(w)}=\sum {\frac {N_{h}}{N}}{\big [}{\overline {y}}+{b_{h}}\cdot ({\overline {X}}_{h}-{\overline {x}}_{h}){\big ]},$

gdzie:

$b_{h}={\frac {{\sum }_{i}({x_{h}}_{i}-{\overline {x}}_{h})\cdot ({y_{h}}_{i}-{\overline {y}}_{h})}{{\sum }_{i}({x_{h}}_{i}-{\overline {x}}_{h})^{2}}},$

${\overline {y}}_{h}$ – średnia z próby dla zmiennej $Y$ pochodzącej z $h$-tej warstwy,

${\overline {x}}_{h}$ – średnia z próby dla zmiennej $X$ pochodzącej z $h$-tej warstwy,

${\overline {X}}_{h}$ – średnia $h$-tej warstwy w populacji generalnej zmiennej dodatkowej $X.$

Estymator regresyjny złożony

Jeżeli nie jest znana średnia arytmetyczna zmiennej pomocniczej w każdej warstwie, a znana jest średnia arytmetyczna zmiennej pomocniczej w całej populacji, wówczas zastosowanie znajduje estymator regresyjny złożony.

Wyraża się go wzorem:

${\overline {y'}}_{l(w)}={\overline {y}}_{(w)}+b\cdot ({\overline {X}}-{\overline {x}}_{(w)}),$

gdzie:

$b_{h}={\frac {{\sum _{h}}_{i}({x_{h}}_{i}-{\overline {x}}_{h})\cdot ({y_{h}}_{i}-{\overline {y}}_{h})}{{\sum _{h}}_{i}({x_{h}}_{i}-{\overline {x}}_{h})^{2}}},$

${\overline {y}}_{(w)}$ – estymator prosty zmiennej podstawowej $Y,$

${\overline {x}}_{(w)}$ – estymator prosty zmiennej pomocniczej $X.$

Zobacz też

• regresja